分形是一种“无限循环”的模式，在不同的尺度上不断重复自己。这种不断重复的性质叫作自相似。分形被认为是无限复杂的，也就是说如果你可以不断放大一张分形图片（下图），你总是可以看到相同的结构。

　　分形这个术语是由曼德勃罗在1975年创造的，它源于拉丁语“fractus”，意思是“破碎的”或“断裂的”。

　　由于分形具有“无限复杂性”，你可能认为分形很难制作，但这是一个非常简单的过程。要做一个分形，只需要一遍又一遍地重复同样的过程。用数学术语来说，数学分形是一个迭代（递归的一种形式）的方程。

　　最著名的分形是曼德勃罗集合，它来自于复数集合c。数学家Adrien Douady定义了下面的函数

　　另一个著名的分形的例子是谢尔宾斯基三角形，以波兰数学家谢尔宾斯基的名字命名，由三个步骤组成：

　　这种分形是用牛顿法求解多项式方程的结果。上图是用牛顿法求出多项式z^3-1=0的三个根的结果，

　　分形天线系统公司（FAS）创造了分形天线，分形超材料，分形电池，以分形电路设计，他们的分形技术创新是无止境的。FAS制造的分形天线正在进入手机和其他设备。他们的分形天线个关键方面比竞争对手具有明显的技术优势：

　　分形几何已经应用于许多换热设备，包括散热器、燃料电池、微反应器、分配器、集热器、管壳式换热器、纺锤体和硅/锗纳米复合材料。由于分形结构具有温度均匀性的优势，基于此，工程师们对芯片散热片进行了大量的优化研究。

　　CT图像的分形分析正被用于理解和解决各种肺部疾病。检测肺部异常的方法遵循基于二维和三维分形维数的简单算法。利用该算法对高分辨率CT图像进行扫描，并根据其整体分形维数对正常和异常肺进行分类。

　　基于分形模式的心率调节研究正在进行中。上图描述了类似于分形时间过程的心率调节，是如何在统计上自相似的不同时间尺度上产生波动的。

　　分形不仅具有艺术和数学价值，它们在计算机图形学、计算机文件压缩系统、互联网架构和医学方面也有巨大的应用。由于分形在数学中仍是一个相对较新的领域，仍有更多的应用未被发现。